Halaman
Modul Matematika Umum Kelas 11 Tahun 2020Materi Pokok Pembelajaran:APLIKASI TURUNAN FUNGSI ALJABARFungsi naik, fungsi turun, gradien, gradien singgung, gradien normal, nilai maksimum, nilai minium, titik stasioner, turunan, kemiringan garis singgung kurva, persamaan garis singgung, garis normal kurva.
Modul Matematika Umum KelasXI. KD .3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN2APLIKASI TURUNAN FUNGSI ALJABARMATEMATIKA UMUM KELAS XI PENYUSUNDr. Yuyun Sri Yuniarti, M.Pd.SMA Negeri 1 Pedes Kabupaten Karawang
Modul Matematika Umum KelasXI. KD .3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN3DAFTAR ISIPENYUSUN.............................................................................................................................................2DAFTAR ISI............................................................................................................................................3GLOSARIUM...........................................................................................................................................4PETA KONSEP.......................................................................................................................................5PENDAHULUAN...................................................................................................................................6A.Identitas Modul...........................................................................................................6B.Kompetensi Dasar.......................................................................................................6C.Deskripsi Singkat Materi............................................................................................6D.Petunjuk Penggunaan Modul......................................................................................7E.Materi Pembelajaran...................................................................................................7KEGIATAN PEMBELAJARAN 1.......................................................................................................9Kemiringan Garis Singgung dan Kemonotan Fungsi Aljabar.............................................9A.Tujuan Pembelajaran..................................................................................................9B.Uraian Materi..............................................................................................................9C.Rangkuman...............................................................................................................14D.Latihan Soal..............................................................................................................15E.Penilaian Diri............................................................................................................22KEGIATAN PEMBELAJARAN 2.....................................................................................................23Maksimum dan Minimum Fungsi Aljabar................................................................................23A.Tujuan Pembelajaran................................................................................................23B.Uraian Materi............................................................................................................23C.Rangkuman...............................................................................................................29D.Latihan Soal..............................................................................................................30E.Penilaian Diri............................................................................................................39KEGIATAN PEMBELAJARAN 3.....................................................................................................40Menggambar Grafik Fungsi Aljabar............................................................................................40A.Tujuan Pembelajaran................................................................................................40B.Uraian Materi............................................................................................................40C.Rangkuman...............................................................................................................42D.Latihan Soal..............................................................................................................42E.Penilaian Diri............................................................................................................45EVALUASI.............................................................................................................................................46DAFTAR PUSTAKA............................................................................................................................51
Modul Matematika Umum KelasXI. KD .3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN4GLOSARIUMFungsi naik:Sebarang fungsi f(x) dimana xbergerak ke kanan,makagrafik fungsi tersebut bergerak ke atasatau naikFungsi turun:Sebarang fungsi f(x) dimana xbergerak ke kanan,makagrafik fungsi tersebut bergerak ke bawahatau turunGradien:Kemiringan, ukuran seberapacepat nilai fungsinya berubah; nilai turunan fungsi di titik singgungnyaGaris singgung:Kurvabidang pada titikyang diketahui ialah garis lurus yang “hanya menyentuh” kurva pada titik tersebutGaris normal:Garis yang tegak lurus terhadap garis singgung pada titik singgungNilai maksimum:Nilai terbesar dari suatu fungsi pada interval tertentuNilai minimum:Nilai terkecil dari suatu fungsi pada interval tertentuTitik stasioner:Titik pada kurva yang mengakibatkan kurva tersebut tidak naik dan tidak turun.Turunan:Laju perubahan suatu fungsi terhadap perubahan peubahnya.
Modul Matematika Umum KelasXI. KD .3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN5PETA KONSEPAPLIKASI TURUNAN FUNGSI ALJABARRumus Dasar Turunan FungsiPenerapan dalam Masalah Kontekstual dan Menggambar GrafikKemiringan dan Kemonotan MaksimumdanMinimumFungsiRumus Pembantu
Modul Matematika Umum KelasXI. KD .3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN6ADCBPENDAHULUANA.Identitas ModulMata Pelajaran: Matematika UmumKelas: XIAlokasi Waktu: 12 JP Judul Modul: Aplikasi Turunan Fungsi AljabarB.Kompetensi Dasar3.9 Menganalisis keberkaitan turunan pertama fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum dan selang kemonotonan fungsi serta kemiringan garis singgung.4.9 Menggunakan turunan pertama fungsi untuk menentukan titik maksimum, titik minimum, dan selang kemonotonan fungsi serta kemiringan garis singgung kurva, persamaan garis singgung dan garis normal kurva berkaitan dengan masalah kontekstualC.Deskripsi Singkat MateriKonsep turunan adalah subjek yang banyak berperan dalam aplikasi matematika dikehidupan sehari-hari di berbagai bidang. Konsep turunan digunakan untuk menentukan interval fungsi naik/turun, keoptimalan fungsi dan titik belok suatu kurva.Untuk memahami apa yang akan Ananda pelajari dalam modul ini, perhatikan ilustrasi berikut. Coba bayangkan ketika Ananda mendaki gunung.Ananda akan memulainya di kaki gunung, kemudian perlahan bergerak ke atas sampai tiba di puncak gunung. Ketika berada di puncak gunung Ananda merasa berada di titik paling atas bukan? Nahh setelah itu Ananda turun kembali menuju lembah sampai tiba di kakigunung kembali. Pergerakan Ananda mendaki gunung dapat diilustrasikan dengan gambar sebagai berikut: Gambar 1Ilustrasi fungsi naik dan turunDari ilustrasi tersebut, ketika Ananda bergerak dari titik Amenuju ke titik B, Ananda akan bergerak naik hingga sampai puncak, kemudian Ananda bergerak dari titik Bke titik C, pergerakan Ananda akan turun, demikian juga ketika Ananda bergerak dari titik Cke DAnanda akan bergerak naik. Deskripsi ini menggambarkan fungsi naik untuk pergerakan dariAke B,fungsi turun untuk pergerakan dari Bke C. Dari Gambar tersebut juga dapat kita lihat terdapat puncak dan lembah. Nahh ketika Ananda berada di puncak berarti Ananda akan berada di titik maksimum, demikian juga ketika Ananda berada di bawah akan berada di titik minimum. Inilah yang disebut titik ekstrim atau titik puncak yang bisa berarti maksimum atau minimum.
Modul Matematika Umum KelasXI. KD .3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN7Terdapat berbagai pemanfaatan aplikasi turunan dalam kehidupan sehari-hari, yaitu:➢Salah satupenerapan turunan yang paling umum adalah penentuan nilai maksimum dan minimum. Hal tersebut dapat diamati dengan seberapa sering kita mendengar atau membaca istilah keuntungan terbesar, biaya terkecil, kekuatan terbesar, dan jarak terjauh. Nilai balik maksimum suatu fungsi pada domain f dapat berupa nilai maksimum mutlak atau nilai maksimum relatif. Begitupun dengan nilai minimum, dapat berupa nilai minimum mutlak dan nilai minimum relatif. Jika dalam interval tertentu terdapat dua nilai maksimum atau lebih, nilai maksimum mutlak (absolut) adalah nilai tertinggi sedangkan yang lainnya merupakan nilai maksimum relatif, begitupun sebaliknya. Jika terdapat dua atau lebih nilai minimum pada suatu fungsi, maka titik terendah merupakan nilai minimum mutlak (absolut), sedangkan yang lainnya merupakan nilai minimum relatif.➢Turunan dapat digunakan untuk menentukan kecepatan dan percepatan sehingga sering digunakan dalam pekerjaan dan penelitian yang membutuhkan ilmu fisika. Selain itu percepatan juga digunakan dalam menghitung laju percepatan pada kegiatan lempar lembing, lempar cakram, menembak, dan lain –lain. Setiap waktu dan percepatannya mempunyai nilai yang dapat diketahui melalui fungsi turunan.➢Dalam membuat konstruksi bangunan, percampuran bahan bahan bangunan yang di lakukan oleh arsitek, pembuatan tiang –tiang, langit langit, ruangan, dan lain lain menggunakan turunan sehingga bangunan terlihat cantik dan kokoh (optimal). Pembuatan kapal, pesawat, dan kendaraan lainnya menggunakan turunan.➢Kegunaan penurunan,terdapat juga pada quick count. Dalam perhitungan tersebut,terdapat juga perhitungan yang baik sehingga dapat mempunyai perhitungan yang maksimal.➢Dalam dunia penerbangan, turunan mempunyaifungsi terpenting untuk menentukkan laju pesawat dengan cepat. Pesawat akan mengikuti navigasi dari tower yang berada di bandara. Setiap laju pesawat akan terdeteksi pada navigasi (menggunakan perhitungan kalkulus otomatis) sehingga laju pesawat tidak salah arah dan percepatannya sesuai dengan panduan dari tower.(Brainly.co.id)D.Petunjuk Penggunaan ModulModul ini dirancang untuk memfasilitasi Ananda dalam melakukan kegiatan pembelajaran secara mandiri. Untuk menguasai materi ini dengan baik, ikutilah petunjuk penggunaan modul berikut.1.Berdoalah sebelum mempelajari modul ini.2.Pelajari uraian materi yang disediakan pada setiap kegiatan pembelajaran secara berurutan. 3.Perhatikan contoh-contoh penyelesaian permasalahan yang disediakan dan kalau memungkinkan cobalah untuk mengerjakannya kembali.4.Kerjakan latihan soal yangdisediakan, kemudian cocokkan hasil pekerjaan Ananda dengan kunci jawaban dan pembahasan pada bagian akhir modul.5.Jika menemukan kendala dalam menyelesaikan latihan soal, cobalah untuk melihat kembali uraian materi dan contoh soal yang ada.6.Setelah mengerjakan latihan soal, lakukan penilaian diri sebagai bentuk refleksi dari penguasaan Ananda terhadap materi pada kegiatan pembelajaran.7.Di bagian akhir modul disediakan soal evaluasi,silahkan mengerjakan soal evaluasi tersebut agar Ananda dapat mengukur penguasaan terhadap materi pada modul ini. Cocokkan hasil pengerjaan dengan kunci jawaban yang tersedia.8.Ingatlah, keberhasilan proses pembelajaran pada modul ini tergantung pada kesungguhan Ananda untuk memahami isi modul dan berlatih secara mandiri.E.MateriPembelajaran
Modul Matematika Umum KelasXI. KD .3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN8Modul ini terbagi menjadi 3kegiatan pembelajaran dan di dalamnya terdapat uraian materi, contoh soal, soal latihan dan soal evaluasi.Pertama :Kemiringan Garis Singgung dan Kemonotan Fungsi AljabarKedua : Maksimum dan MinimumFungsi AljabarKetiga : Menggambar Grafik Fungsi Aljabar
Modul Matematika Umum KelasXI. KD .3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN9Rumus Turunan Fungsi Aljabar serta Sifat-sifatnyaKEGIATAN PEMBELAJARAN 1Kemiringan Garis Singgung dan Kemonotan Fungsi AljabarA.Tujuan PembelajaranSetelahkegiatan pembelajaran 1 ini, diharapkan Ananda dapat menganalisiskeberkaitan turunan pertama fungsi aljabardengan kemiringan garis singgung dan selang kemonotonan fungsi (interval fungsi naik dan fungsi turun) dan dapat menggunakan turunan pertama fungsiuntuk menentukan kemiringan garis singgung kurva, persamaan garis singgung dan garis normal kurva dan selang kemonotonan fungsi aljabar. B.Uraian MateriDalam mempelajari modul Aplikasi Turunan Fungsi Aljabar ada materi prasyarat yang harus dipelajari kembali, diantaranya adalah rumusturunan atau diferensial fungsi aljabarbeserta sifat-sifatnya.Misalkan f, u, dan vfungsi dari xbernilai real serta dapat diturunkan dan akonstanta bilangan real, makaberlaku:➢f(x) = af (x)= 0➢f(x) = axf (x)= a➢f(x)=axnf (x)=anxn –1➢f(x)=aunf (x)=an un –1.u➢f(x)=uv f (x)=uv➢f(x)=u . vf (x)=u. v + u . v➢f(x)=𝑢𝑣f (x)= 2'..'vvuvu−Kemiringan Garis Singgung Perhatikan Gambar 2 berikut!9.10.Gambar 2. Konsep kemiringan garis singgungMisalkan Padalah sebuah titik tetap pada suatu kurva dan andaikan Qadalah sebuah titik berdekatan yang dapat dipindah-pindahkan pada kurva tersebut. Koordinat titik Padalah (c, f(c)), titik Qmempunyai koordinat (c + h,f(c + h)).Tali busur yang melalui Pdan Qmempunyai kemiringan atau gradien𝑚𝑃𝑄=𝑓(𝑐+ℎ)−𝑓(𝑐)ℎGaris l merupakan garis singgung kurva di titik P. Kemiringan (gradien) garis singgung ladalah:𝑚=𝑓(𝑐)=limℎ→0𝑚𝑃𝑄=limℎ→0𝑓(𝑐+ℎ)−𝑓(𝑐)ℎGaris singgungPQOXYcc+hhf(c+h)f(x)f(c)l
Modul Matematika Umum KelasXI. KD .3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN10Persamaan garis singgung kurva y= f(x) dititik (x1, y1) adalah y–y1= m(x–x1), dengan m= f(x1)= [𝑑𝑦𝑑𝑥]𝑥=𝑥1Garis normal adalah garis yang tegak lurus terhadap garis singgung pada titik singgung. Persamaannya adalah y–y1= –m1(x–x1).Tentukan gradien garis singgung kurva y= x2+ 2x–2 di titik (1, 1).Penyelesaian:❖Tentukan turunan pertama dari fungsi yy= x2+ 2x–2𝑑𝑦𝑑𝑥=2𝑥+ 2❖Tentukan gradien garis singgung m𝑚=𝑑𝑦𝑑𝑥|𝑥=1m= 2(1)+2=4❖Jadi, gradien garis singgung kurva adalah 2.Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva y= 2x3−5x2−x+ 6 di titik yang berabsis 1.Penyelesaian:❖Tentukan titik singgung (x1, y1)Absis = x1= 1 y1= 2x3−5x2−x+ 6 = 2(1)3−5(1)2−(1) + 6= 2Jadi, titik singgungnya adalah (1, 2).Catatan:Pengertian dua garis sejajar dan tegak lurus sering muncul dalam persamaan garis singgung.❖Misalkan garis g: y= m1x+ c1sejajar garis h: y= m2x+ c2di mana m1dan m2masing-masing gradien dari garis gdan h, maka m1= m2.❖Misalkan garis g: y= m1x+ c1tegak lurus garis h: y= m2x+ c2di mana m1dan m2masing-masing gradien dari garis gdan h, maka m1. m2= –1. Contoh2Contoh1
Modul Matematika Umum KelasXI. KD .3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN11❖Tentukan turunan pertama fungsi yy= 2x3−5x2−x+ 6, makadxdy= 6x2–10x–1 ❖Tentukan gradien mm= 1=xdxdy= 6(1)2–10(1) –1= –5 ❖Tentukan persamaan garis singgungy–y1= m(x–x1)y–2 = −5(x–1)y–2 = −5x+ 55x+ y –7 = 0❖Tentukan persamaan garis normaly–y1= –m1(x–x1)y–2 = −51(x–1)5y–10 = −x+ 1x+ 5y–11 = 0❖KesimpulanJadi, persamaan garis singgung kurva y= 2x3−5x2−x+ 6 di titik yang berabsis 1adalah 5x+ y –7 = 0dan persamaan garis normalnya adalah x+ 5y–11 = 0.Tentukan persamaan garis singgung kurva y= x2+ 3 yang tegak lurus dengan garis x+ 2y+ 2 = 0.Penyelesaian :❖Tentukan turunan pertama fungsi yy= x2+ 3 𝑑𝑦𝑑𝑥=2𝑥❖Tentukan gradien garis singgungMisal garis h: x+ 2y+2= 0y= −12x–1mh= −12Misal gadalah garis singgung kurva, karena garis gtegak lurus garis h(g⊥h), maka mg. mh= –1mg. (−12) = –1mg= 2❖Tentukan titik singgung (x1, y1)𝑚𝑔=𝑑𝑦𝑑𝑥|𝑥=𝑥12=2𝑥𝑥=1x1= 1 y1= (1)